Enunciado

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

35. f x ,   y = x + 2 y ; no retângulo de vértices 1 ,   - 2 ,   1 ,   2 ,   1 ,   - 2 e - 1 ,   - 2 .

Passo 1

Então pessoal, fazendo um esboço do retângulo, teremos o seguinte:

Nessa questão em específico não temos pontos críticos no interior do retângulo, uma vez que:

∂ f ∂ x = 1

∂ f ∂ y = 2

Então isso facilita bastante o nosso problema, pois só devemos fazer análise das fronteiras, ok?! Então bora lá!

Passo 2

Para facilitar a visualização vamos analisar cada segmento de reta separadamente, tudo bem? A função que nos foi dada é a seguinte:

f x ,   y = x + 2 y

Para o segmento A B temos que x = 1 , então:

f 1 ,   y = 1 + 2 y ,   - 2 ≤ y ≤ 2

Então podemos concluir que nesse segmento não há pontos críticos! Ademais, testando os intervalos de y , teremos:

f 1 ,   - 2 = 1 - 2.2 = - 3   m í n i m o

f 1 ,   2 = 1 + 2.2 = 5   ( m á x i m o )

Para o segmento B C temos que y = 2 , então:

f x ,   2 = x + 4 ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Então podemos concluir que nesse segmento não há pontos críticos! Ademais, testando os intervalos de x , teremos:

f - 1 ,   2 = - 1 + 4 = 3   m í n i m o

f 1 ,   2 = 1 + 4 = 5   ( m á x i m o )

Tudo bem, metade da análise já foi feita, então vamos para as duas finais!

Passo 3

Para o segmento C D temos que x = - 1 , então:

f - 1 ,   y = - 1 + 2 y ,   - 2 ≤ y ≤ 2

Então podemos concluir que nesse segmento não há pontos críticos! Ademais, testando os intervalos de y , teremos:

f - 1 ,   - 2 = - 1 - 2.2 = - 5   m í n i m o

f - 1 ,   2 = - 1 + 2.2 = 3   ( m á x i m o )

Por fim, para o segmento D A temos que y = - 2 , então:

f x ,   - 2 = x - 4 ,   - 1 ≤ x ≤ 1

Então podemos concluir que nesse segmento não há pontos críticos! Ademais, testando os intervalos de x , teremos:

f - 1 ,   - 2 = - 1 - 4 = - 5   ( m í n i m o )

f 1 ,   - 2 = 1 - 4 = - 3   m á x i m o

Tudo bem, terminamos a análise das fronteiras! Se analisarmos todos os pontos que substituímos, fica tranquilo conconcluirmos o seguinte, se liga:

O ponto - 1 ,   - 2 é ponto de mínimo e tem valor de - 5 e o ponto 1 ,   2 é ponto de máximo e tem valor de 5 .

E está aí nossa análise dos máximos e mínimos da função que nos foi dada!

Resposta

Ponto de mínimo: - 1 ,   - 2 , valor: - 5 ;

Ponto de máximo: ( 1 ,   2 ) , valor: 5 .

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