Enunciado

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Encontrar o ponto da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 mais próximo do ponto (3, 3, 3).

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de aproximação. E a condição será:

s . a .                 x 2 + y 2 + z 2 = 4

Como nós queremos minimizar a distância vamos usar a fórmula:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Sabendo que ( x 0 , y 0 , z 0 ) são referentes ao ponto 3 ,   3   3 . Substituindo:

d = x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                 x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2

s . a .                                                                           x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2 - λ ( x 2 + y 2 + z 2 - 4 )

Derivando L em relação às variáveis x, y e z e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 1 2 x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2 - 1 2 × 2 x - 3 - 2 λ x = 0

∂ L ∂ y = 1 2 x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2 - 1 2 × 2 y - 3 - 2 λ y = 0

∂ L ∂ z = 1 2 x - 3 2 + y - 3 2 + z - 3 2 - 1 2 × 2 z - 3 - 2 λ z = 0 = 0

∂ L ∂ λ = - ( x 2 + y 2 + z 2 - 4 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

y = z

Colocando na última equação:

3 x 2 = 4

x = ± 2 3 = ± 2 3 3

Sendo assim, nós temos o ponto 2 3 3 ,   2 3 3 ,   2 3 3 e - 2 3 3 ,   - 2 3 3 ,   - 2 3 3 .

Tranquilinha?

Resposta

2 3 3 ,   2 3 3 ,   2 3 3 e - 2 3 3 ,   - 2 3 3 ,   - 2 3 3

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