Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado.

f(x, y, z) = 2z^3 - 3(x^2 + y^2)z + tg^(-1)(xz), (1, 1, 1)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = 2 z 3 - 3 x 2 + y 2 z + tg - 1 ⁡ x z

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = tg - 1 ⁡ u → y ' = u ' 1 + u 2

Rearranjando a função:

f x ,   y ,   z = 2 z 3 - 3 x 2 z - 3 y 2 z + tg - 1 ⁡ x z

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto 1 ,   1 ,   1 . Para a derivada em relação a x temos:

∂ f ∂ x = - 6 x z + z 1 + x z 2 = z 1 1 + x 2 z 2 - 6 x

∂ f ∂ x = 1 1 1 + 1 2 1 2 - 6 ∙ 1 = 1 2 - 6

∂ f ∂ x = - 11 2

Em relação a y :

∂ f ∂ y = - 6 y z = - 6 ∙ 1 ∙ 1

∂ f ∂ y = - 6

E em relação a z :

∂ f ∂ z = 6 z 2 - 3 x 2 - 3 y 2 + x 1 + x 2 z 2

∂ f ∂ z = 6 ∙ 1 2 - 3 ∙ 1 2 - 3 ∙ 1 2 + 1 1 + 1 2 1 2

∂ f ∂ z = 1 2

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = - 11 2 i - 6 j + 1 2 k

Até mais pessoal.

Resposta

∇ f = - 11 2 i - 6 j + 1 2 k

Exercícios de Livros Relacionados