Enunciado

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18 no qual a reta normal é perpendicular ao plano x + y + z = 10 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

A derivada parcial possui várias aplicações, assim como a derivada simples. Nesse exercício iremos usá-la para encontrarmos o ponto desejado. Mas antes precisamos verificar algumas informações: se a reta normal à superfície é perpendicular ao plano dado, isso significa que esse plano é tangente à superfície.

Por conta disso, os vetores normais à ambos o plano e superfície possuem a mesma direção, mas tamanho diferente, tal que uma é proporcional a outra. O que pode ser feito, então, é encontrar o vetor normal e fazer a análise dessa proporcionalidade.

Pelo Teorema 3.5 do livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (página 108 ), tendo uma superfície S de equação f x ,   y ,   z = k e um ponto P 0 = x 0 ,   y 0 ,   z 0 , o gradiente dessa função no ponto é perpendicular a qualquer vetor tangente à superfície nesse ponto. Para esse caso, podemos considerar que o gradiente é o vetor normal à superfície.

Logo, para esse exercício, temos que:

∇ f P 0 s u p e r f í c i e = k ∇ f P 0 p l a n o

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 2

Então, primeiro vamos calcular o gradiente da função da superfície. Primeiro, vamos deixar todos os termos da equação de um lado só:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

Tal que:

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 - 18 = 0

Logo, as derivadas parciais serão dadas por:

∇ f x ,   y ,   z s u p e r f í c i e = 2 x ,   6 y ,   3 z

E, substituindo as coordenadas do ponto:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 s u p e r f í c i e = 2 x 0 ,   6 y 0 ,   3 z 0

Passo 3

Agora, para a equação do plano, vamos reescrevê-la como:

x + y + z = 10 → x + y + z - 10 = 0

O gradiente dessa função será dado por:

∇ f x ,   y ,   z p l a n o = 1 ,   1 ,   1

Ou seja, no ponto:

∇ f x 0 ,   y 0 ,   z 0 p l a n o = 1 ,   1 ,   1

Passo 4

Então, analisando a proporcionalidade de ambos os gradientes/vetores normais, teremos:

∇ f P 0 s u p e r f í c i e = k ∇ f P 0 p l a n o

⇒ 2 x 0 ,   6 y 0 ,   3 z 0 = k 1 ,   1 ,   1

Logo, isso nos dá as relações:

2 x 0 = k 6 y 0 = k 3 z 0 = k

Ou ainda:

x 0 = k 2 y 0 = k 6 z 0 = k 3

Passo 5

Como precisamos determinar o valor de k para sabermos as coordenadas do ponto e esse ponto está situado na superfície dada, podemos substituir o valor dessas coordenadas na equação da superfície. Então, substituindo:

x 0 2 + 3 y 0 2 + 3 z 0 2 2 = 18 → k 2 2 + 3 k 6 2 + 3 k 3 2 2 = 18

Isso resulta em:

k 2 4 + 3 k 2 36 + 3 2 k 2 9 = 18

Ou seja:

k 2 4 + k 2 12 + k 2 6 = 18

Igualando o denominador:

6 k 2 + 2 k 2 + 4 k 2 24 = 18

Portanto:

12 k 2 = 432

E isolando k podemos conseguir:

k 2 = 36 → k = ± 36

Logo:

k = ± 6

Passo 6

Por fim, precisamos do valor positivo ou negativo da constante?

Vamos lembrar que o exercício nos diz que o ponto se situa no primeiro octante. Isso significa que os valores de todas as coordenadas são positivos por estarem nos eixos positivos. Então, k precisa ser positivo também.

Concluímos, então, que o ponto será dado por:

P = x 0 , y 0 ,   z 0 = k 2 , k 6 , k 3

Com isso:

P = 6 2 , 6 6 , 6 3 = 3 ,   1 ,   2

Resposta

P = 3 ,   1 ,   2

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