Enunciado

Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = x^2 + y^2 - 2 z^2 + z ln x , (1 , 1 , 1)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = x^2 + y^2 - 2 z^2 + z ln x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = ln u -> y^' = (u^')/(u)

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (1 , 1 , 1) . Em relação a x :

(del f)/(del x) = 2 x + (z)/(x) = 2 * 1 + (1)/(1)

(del f)/(del x) = 3

Em relação a y :

(del f)/(del y) = 2 y = 2 * 1

(del f)/(del y) = 2

E em relação a z :

(del f)/(del z) = - 4 z + ln x = - 4 * 1 + ln 1

(del f)/(del z) = - 4

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = 3 i + 2 j - 4 k

Até mais pessoal.

Resposta

grad f = 3 i + 2 j - 4 k .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções. g x , y , z = x e y + z 2 , P
Em cerca de quanto f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover de P0(3, 4, 12) uma distância de ds = 0,1 unidade na direção de 3i + 6j – 2k?
Em cerca de quanto f x , y , z = e x cos ⁡ y z irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover uma distância de ds = 0,1 unidade na direção de 2i + 2j – 2k?
Enunciado
Curvas tangentes Uma curva lisa é tangente à superfície emum ponto de interseção se seu vetor velocidade é ortogonal a§ƒ ali.Mostre que a curvarstd = 2ti + 2tj + s2t - 1dké tangente à superfície x2 +