Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado.

f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2 + z \* ln(x), (1, 1, 1)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - 2 z 2 + z ln ⁡ x

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = ln ⁡ u → y ' = u ' u

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto 1 ,   1 ,   1 . Em relação a x :

∂ f ∂ x = 2 x + z x = 2 ∙ 1 + 1 1

∂ f ∂ x = 3

Em relação a y :

∂ f ∂ y = 2 y = 2 ∙ 1

∂ f ∂ y = 2

E em relação a z :

∂ f ∂ z = - 4 z + ln ⁡ x = - 4 ∙ 1 + ln ⁡ 1

∂ f ∂ z = - 4

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = 3 i + 2 j - 4 k

Até mais pessoal.

Resposta

∇ f = 3 i + 2 j - 4 k .

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