Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado.

f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) + ln(xyz), (-1, 2, -2)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f x ,   y ,   z e um vetor unitário u = u 1 i + u 2 j + u 3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 + ln ⁡ x y z

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

y = u n → y ' = n ∙ u ' ∙ u n - 1 y = ln ⁡ u → y ' = u ' u                                

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto - 1 ,   2 ,   - 2 . Para a derivada em relação a x temos:

∂ f ∂ x = - 1 2 ∙ 2 x ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2 - 1 + y z x y z = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 + 1 x

∂ f ∂ x = 1 x - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = 1 - 1 - - 1 - 1 2 + 2 2 + - 2 2 3 / 2

∂ f ∂ x = - 26 27

Em relação a y :

∂ f ∂ y = - 1 2 ∙ 2 y ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 + x z x y z = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 + 1 y

∂ f ∂ y = 1 y - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = 1 2 - 2 - 1 2 + 2 2 + - 2 2 3 / 2

∂ f ∂ y = 1 2 - 2 27 = 27 - 2 ∙ 2 54

∂ f ∂ y = 23 54

E em relação a z :

∂ f ∂ z = - 1 2 ∙ 2 z ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 - 1 + x y x y z = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 / 2 + 1 z

∂ f ∂ z = 1 z - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = 1 - 2 - - 2 27

∂ f ∂ z = - 1 2 + 2 27 = - 27 + 2 ∙ 2 54

∂ f ∂ z = - 23 54

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = - 26 27 i + 23 54 j - 23 54 k

Até mais pessoal.

Resposta

∇ f = - 26 27 i + 23 54 j - 23 54 k

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