Enunciado

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

50. ∑ n = 1 ∞ c o t g h   n x n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar que a série seja ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ coth ⁡ n x n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 0 ∞ | u n | , onde u n é n-ésimo termo da série. Com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ coth ⁡ n + 1 x n + 1 coth ⁡ ( n ) x n = lim n → ∞ ⁡ x coth ⁡ ( n + 1 ) coth ⁡ ( n )

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ coth ⁡ ( n + 1 ) coth ⁡ ( n )

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ 1 + e - 2 n - 2 1 - e - 2 n - 2 ∙ 1 - e - 2 n 1 + e - 2 n

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x

Passo 2

A – O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é - 1 < x < 1 .

B - O intervalo de x em que a série converge absolutamente é - 1 < x < 1 .

C – Não existe valor de x para qual a série converge condicionalmente.

Resposta

Respondido acima!

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