Enunciado

43. A base de um sólido é a região encerrada por um círculo com 7 cm de raio. Ache o volume do sólido se todas as secções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem triângulos equiláteros.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos equiláteros,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo equilátero.

relembrando a fórmula para calcular a área de um triangulo equilátero:

A x = l 2 ⋅ 3 4

No nosso caso, esse l vai ser igual a 2y

Portanto,

A x = ( 2 y ) 2 ⋅ 3 4

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = 49

y =   49 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = ( 2   49 - x 2 ) 2 ⋅ 3 4

Ou

A x = 3 49 - x 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = ∫ - 7 7 3 49 - x 2   d x

Devido a simetria da figura, podemos reescrever a integral como

V = 2 ∫ 0 7 3 ( 49 - x 2 )   d x

= 2 3 49 x - x 3 3   | 0 7

= 2 3 49 ⋅ 7 - 7 3 3 - 8 0

= 2 3 343 - 343 3

= 2 3 686 3

= 1372 3 3

Resposta

= 1372 3 3 c m 3

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