Enunciado

Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada.

x + 2 y - 6 = 0 .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de planos. Na seção 2.1 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., um plano tem a equação:

a ,   b ,   c ∙ x - x 1 ,   y - y 1 ,   z - z 1 = 0

Onde N = a ,   b ,   c é o vetor normal ao plano que passa pelo ponto x 1 , y 1 , z 1 .

Se temos uma equação linear, vamos determinar o traço do gráfico em cada plano coordenado. Em outras palavras, igualando uma variável a zero de cada vez, iremos determinar a equação de uma reta do gráfico que intercepta o plano coordenado.

Assim, se fizermos x = 0 , teremos a equação de uma reta no plano y z . Da mesma forma, fazendo y = 0 e z = 0 teremos equações de retas nos planos x z e x y , respectivamente. Para ajudar nisso, vamos esboçar essas retas.

Como no nosso caso temos uma equação em função de x e y apenas (não possui componente z ), isso significa que nosso plano é perpendicular ao plano x y .

Passo 2

Então, fazendo primeiro:

x = 0

Temos a equação da reta:

2 y - 6 = 0

Que pode ser reescrita como:

2 y = 6

Ou seja:

y = 3

Logo, uma reta do nosso plano passa pelo ponto 0 ,   3 ,   0 .

Passo 3

Analogamente, se fizermos:

y = 0

Conseguimos:

x - 6 = 0

Então:

x = 6

O que mostra que o plano possui outra reta que passa pelo ponto 6 ,   0 ,   0 .

Passo 4

Com essas informações, se esboçarmos o plano em uma perspectiva bidimensional em x y , obtemos:

E, transferindo isso para o plano tridimensional x y z , temos:

Resposta

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Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I-VIII). Justifique sua escolha. y 2 = x 2 + 2 z 2
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. x 2 + 2 y - 2 z 2 = 0
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 4 z 2 + 4
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 4 x 2 + 9 y 2 + 36 z 2 = 36
Determine o traço da superfície dada nos planos x = k ,y = k , z = k . Identifique a superfície e faça um esboço dela. 25 y 2 + z 2 = 100 + 4 x 2