Enunciado

Nos Exercícios 1 e 2, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .

1. r t = a cos ⁡ t i + a sen ⁡ t j + ( b t ) k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nesta tarefa, devemos encontrar os componentes do vetor aceleração aa e escrevê-los na forma:

a = a T T + a N N

Mas sem avaliar a tangente unitária e os vetores normais. Para fazer isso, temos que usar as fórmulas para obter a T e a N ​. Para a curva dada r ( t ) , encontramos seu vetor velocidade diferenciando a equação paramétrica da curva:

v = r ' t

A componente tangencial da aceleração é obtida diferenciando o módulo da velocidade:

a T = d d t v

O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade:

a = d v d t

Finalmente, encontramos a componente normal da aceleração usando a relação:

a n = a 2 - a T

Passo 2

A curva que nos é dada é:

r t = a cos ⁡ t i + a sen ⁡ t j + b t k

O vetor velocidade é obtido tomando a derivada da expressão acima:

v = - a sen ⁡ t i + a cos ⁡ t j + b k

O módulo do vetor velocidade é:

v = a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 cos 2 ⁡ t + b 2 = a 2 + b 2

Finalmente, a componente tangencial da aceleração é:

a T = d d t a 2 + b 2 = 0

Passo 3

Em seguida, diferenciamos a velocidade mais uma vez para obter o vetor aceleração:

a = - a cos ⁡ t i - a sen ⁡ t j + 0 k

E sua magnitude

a = a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 cos 2 ⁡ t = a

E assim, a componente normal da aceleração é:

a N = a 2 - a T = a 2 - 0 = a

Finalmente, escrevemos o vetor aceleração como:

a = 0 T + a N

Resposta

a = 0 T + a N

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 3 e 6, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .3. r t = t + 1 i + 2 t j + t 2 k ,t = 1
Nos Exercícios 3 e 6, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .5. r t = t 2 i + t + 1 3 t 3 j + t - 1 3 t 3 k ,t = 0
Nos Exercícios 1 e 2, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .4. r t = t cos ⁡ t i + t sen ⁡ t j + t 2 k , t = 0
Nos Exercícios 3 e 6, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .6. r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 e t k , t = 0
Nos Exercícios 15-18, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração