Enunciado

Nos Exercícios 1 e 2, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .

4. r t = t cos ⁡ t i + t sen ⁡ t j + t 2 k ,     t = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nesta tarefa, devemos encontrar os componentes do vetor aceleração aa e escrevê-los na forma:

a = a T T + a N N

Mas sem avaliar a tangente unitária e os vetores normais. Para fazer isso, temos que usar as fórmulas para obter a T e a N ​. Para a curva dada r ( t ) , encontramos seu vetor velocidade diferenciando a equação paramétrica da curva:

v = r ' t

A componente tangencial da aceleração é obtida diferenciando o módulo da velocidade:

a T = d d t v

O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade:

a = d v d t

Finalmente, encontramos a componente normal da aceleração usando a relação:

a n = a 2 - a T

Passo 2

A curva que nos é dada é:

r t = ( t cos ⁡ t ) i + ( t sen ⁡ t ) j + t 2 k

O vetor velocidade é obtido tomando a derivada da expressão acima:

v = cos ⁡ t - t sen ⁡ t i + sen ⁡ t + t cos ⁡ t j + 2 k

O módulo do vetor velocidade é:

v = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + t cos 2 ⁡ t + t sen 2 ⁡ t + 4 t 2 = 1 + 5 t 2

Finalmente, a componente tangencial da aceleração é:

a T = d d t v = 5 t 2 1 + 5 t 2

Calculando para t = 0 , nós temos que a T 0 = 0

Passo 3

Em seguida, diferenciamos a velocidade mais uma vez para obter o vetor aceleração:

a = ( - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t ) i + ( 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t ) j + 2 k

Calculando em t = 0 , nós temos que

a 0 = 0 i + 2 j + 2 k

E sua magnitude

a = 4 + 4 = 2 2

E assim, a componente normal da aceleração é:

a N = a 2 - a T = 8 - 0 = 2 2

Finalmente, escrevemos o vetor aceleração como:

a = 0 T + 2 2 N

Resposta

a = 0 T + 2 2 N

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Uma partícula se move no espaço com vetor posição r → t . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e acele
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Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determinar, ainda, o modulo desses vetores no instante dado.c) r → t = cosh ⁡ ti → + 3 s e n h tj →; t = 0
Uma partícula se move no espaço com vetor posição r → t . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e acele
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