Enunciado

Nos Exercícios 3 e 6, escreva a na forma a = a T T + a N N sem encontrar T e N .

5. r t = t 2 i + t + 1 3 t 3 j + t - 1 3 t 3 k ,   t = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nesta tarefa, devemos encontrar os componentes do vetor aceleração aa e escrevê-los na forma:

a = a T T + a N N

Mas sem avaliar a tangente unitária e os vetores normais. Para fazer isso, temos que usar as fórmulas para obter a T e a N ​. Para a curva dada r ( t ) , encontramos seu vetor velocidade diferenciando a equação paramétrica da curva:

v = r ' t

A componente tangencial da aceleração é obtida diferenciando o módulo da velocidade:

a T = d d t v

O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade:

a = d v d t

Finalmente, encontramos a componente normal da aceleração usando a relação:

a n = a 2 - a T

Passo 2

A curva que nos é dada é:

r t = t 2 i + t + t 3 3 j + t - t 3 3 k

O vetor velocidade é obtido tomando a derivada da expressão acima:

v = 2 t i + 1 + t 2 j + ( 1 - t 2 ) k

O módulo do vetor velocidade é:

v = 2 t 4 + 4 t 2 + 2

Finalmente, a componente tangencial da aceleração é:

a T = d d t v = 4 t 3 + 4 t 2 t 4 + 4 t 2 + 2

Calculando para t = 0 , nós temos que a T 0 = 0

Passo 3

Em seguida, diferenciamos a velocidade mais uma vez para obter o vetor aceleração:

a = 2 i + 2 t j - 2 t k

Calculando em t = 0 , nós temos que

a 0 = 2 i + 0 j + 0 k

E sua magnitude

a = 2

E assim, a componente normal da aceleração é:

a N = a 2 - a T = 2 2 - 0 = 2

Finalmente, escrevemos o vetor aceleração como:

a = 0 T + 2 N

Resposta

a = 0 T + 2 N

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