Enunciado

Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determinar, ainda, o modulo desses vetores no instante dado.

b) r → t = e t   i → + e - 2 t   j →   ; t = ln ⁡ 2

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O enunciado nos disse o seguinte:

r → t = e t   i → + e - 2 t   j →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t =   e t   i → + - 2 × e - 2 t   j →  

Isto é,

v → t =   e t   i → - 2 e - 2 t   j →  

E para aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = e t   i → - - 2 × 2 e - 2 t   j →  

Arrumando essa expressão:

a → t = e t   i → + 4 e - 2 t   j →  

Passo 2

Agora vamos encontrar o módulo da velocidade no instante t = ln ⁡ 2 . Para isso, vamos primeiro achar v → ln ⁡ 2 .

v → ln ⁡ 2 =   e ln ⁡ 2   i → - 2 e - 2 ln ⁡ 2   j →  

Agora vamos dar uma mexida nos expoentes. Usando que a ln ⁡ b = ln ⁡ b a no segundo termo:

v → ln ⁡ 2 =   e ln ⁡ 2   i → - 2 e ln ⁡ 2 - 2   j →  

Além disso, sabemos que e ln ⁡ a = a :

v → ln ⁡ 2 =   2   i → - 2 × 2 - 2   j →  

Simplificando:

v → ln ⁡ 2 =   2   i → - 1 2   j →  

Então o modulo do vetor velocidade fica o seguinte:

v → ln ⁡ 2 = 2 2 + - 1 2 2

Fazendo as contas:

v → ln ⁡ 2 = 5 2

Passo 3

Para aceleração vamos fazer um processo bem parecido, olha só:

a → t = e t   i → + 4 e - 2 t   j →  

No instante t = π 4 :

a → ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2   i → + 4 e - 2 ln ⁡ 2   j →  

Fazendo a mesma coisa do Passo anterior:

a → ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 2   i → + 4 e ln ⁡ 2 - 2   j →  

Como e ln ⁡ a = a :

a → ln ⁡ 2 = 2   i → + 4 × 2 - 2   j →  

Logo,

a → ln ⁡ 2 = 2   i → + 1   j →

Pra finalizar, vamos achar o modulo desse vetor.

a → ln ⁡ 2 = 2 2 + 1 2

Portanto,

a → ln ⁡ 2 = 5

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t =   e t   i → - 2 e - 2 t   j →  

a → t = e t   i → + 4 e - 2 t   j →  

Para t = ln ⁡ 2 :

v → ln ⁡ 2 = 5 2

a → ln ⁡ 2 = 5

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