Enunciado

Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar conforme a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela partícula e a direção do movimento.

14. x = t + 1 ,   y = t ,     t ≥ 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos expressar o parâmetro t das variáveis x e y para eliminá-lo. Se elevarmos ao quadrado as expressões onde aparecem as variáveis ​​ x e y , obtemos:

x 2 = t + 1     ( 1 )

y 2 = t     ( 2 )

Se nós incluímos a equação (2) na (1), obtemos que

x 2 - y 2 = 1     ( 3 )

A equação (3) representa a equação de uma hipérbole com vértices nos pontos ( ± 1,0 ) . Os ramos da parábola são simétricos em relação a y .

Passo 2

A variável y é definida como y . Como a segunda raiz é não negativa, y assume valores maiores ou iguais a 0. A partir dessa condição, concluímos que a partícula se move ao longo da parte da hipérbole localizada acima do eixo x . Da mesma forma, a variável x é definida como t + 1 . Como t é não negativo, o menor valor que x assume é para t = 0 , ou seja,

x = 0 + 1 = 1

Devido a condição que x ≥ 1 , concluímos que estamos olhando apenas para a parte da hipérbole que está no primeiro quadrante.

Passo 3

Se desenharmos esses pontos na hipérbole, obtemos a direção do movimento da partícula:

Determinamos a direção do movimento da partícula para que as setas passassem de valores menores do parâmetro t para valores maiores.

Resposta

x 2 - y 2 = 1 ,     x ≥ 1 ,   y ≥ 0

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Encontre três conjuntos diferentes de equações paramétricas para representar a curva y = x 3 , x ∈ R .
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = 1 + cos ⁡ θ , y = 2 c
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = s e n 2 θ , y = cos 2
Descreve o movimento de uma partícula com posição ( x ,y ) quando t varia no intervalo dado. x = 2s e nt , y = 3 cos ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 2 π
Descreve o movimento de uma partícula com posição ( x ,y ) quando t varia no intervalo dado. x = cos 2 ⁡ t , y = cos ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 4 π