Enunciado

Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar conforme a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela partícula e a direção do movimento.

11. x = t 2 ,   y = t 6 - 2 t 4 ,   - ∞ < x < ∞

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, observe como podemos escrever y como:

y = t 2 3 - 2 t 2 2     ( 1 )

Sabemos pelas condições da tarefa que t 2 é igual a x , portanto, se incluirmos esse fato na equação (1), obtemos:

y = x 3 - 2 x 2

A equação dada é a equação do polinômio cúbico. As coordenadas da posição da partícula satisfazem a equação y = x 3 - 2 x 2 , então a partícula se move ao longo do polinômio cúbico.

Pelas condições do problema, sabemos que t pode ser qualquer número real. Por causa de t 2 , x assume valores dentro do intervalo [ 0 , ∞ ) independentemente do valor que tomamos para o parâmetro t, ou seja,

x ≥ 0 ,     ∀ t ∈ R

Por esta razão, desenhamos o polinômio cúbico como uma função

y = x 3 - 2 x 2

Apenas para x ≥ 0 .

Passo 2

Se plotarmos os pontos no sistema de coordenadas, obtemos a seguinte função cúbica:

Se t é negativo e se aproxima de zero, então a partícula se aproxima da origem, e se t é positivo, à medida que t aumenta, a partícula se afasta cada vez mais da origem.

Resposta

y = x 3 - 2 x 2 ,     x ≥ 0

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