Enunciado

Nos exercícios 21 e 22, obtenha uma aproximação de π com cinco casas decimais, usando o Método de Newton para resolver a equação.

Passo 1

Seja a função f x = t g x . Seu gráfico é da seguinte forma:

Sabemos que t g   π = 0 e π é a primeira raiz positiva. Dessa forma, faremos aproximação pelo método de Newton.

Logo, calculando f ' ( x ) , teremos:

f x = t g   x → f ' x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Pelo gráfico, uma escolha razoável parece x 1 = 3 . Utilizaremos a relação x n + 1 = x n - t g   x sec 2 ⁡ x , teremos de acordo com a seguinte tabela:

Passo 3

Como x 3   e   x 4   são iguais a 3,141592, temos que a raiz aproximada, ou seja, π = 3,14159 .

Resposta

π = 3,14159 .

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Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )=2 x-x 2+1 . Comece com x 0=0 para a raiz à esquerda e depois com x 0=2 para a raiz à direita. Então, determine x 2 em cada caso
Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Aplique o método de Newton a f x = x 1 3 com x 0=1 e calcule x 1,x 2 ,x 3ex 4 . Determine uma fórmula para x n . O que acontece com x n quando n → ∞ ? Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.
Para que valor(es) de x teremos ln ⁡ 1 - x 2 = x - 1 ?
As curvas y=x 2 ( x+1 ) e y= 1 x( x0 ) se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para estimar o valor de r com quatro casas decimais.