Enunciado

Nos Exercícios 3 e 4, uma partícula se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força de f x dinas, quando a partícula está a x cm da origem. Ache o trabalho realizado quando a partícula se move do ponto onde x = a até o ponto onde x = b .

f x = x x + 1 ; a = 3 ; b = 8

Passo 1

O exercício quer que encontremos o trabalho, e para isso usar a fórmula da integral já que aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f ( x ) , então nossa integral fica:

W = ∫ x = 3 8 x x + 1   d x

Agora podemos resolvê-la, para isso vamos começar fazendo uma Integração por Substituição, onde nosso u será:

u = x + 1

x = u - 1

E o diferencial de u :

d u = d x

Podemos agora fazer a substituição do d x e do x na nossa integral:

W = ∫ x = 3 8 u - 1 u   d u = ∫ x = 3 8 u 3 2 - u   d u

Vamos aproveitar e alterar os limites de integração de x para u :

Para o a com x = 3 :

u a = x + 1 = 4

Para o b com x = 8 :

u b = x + 1 = 9

E nossa integral fica:

W = ∫ u = 4 9 u 3 2 - u   d u

Pronto, já está com uma cara melhor.

Passo 2

Vamos separar nossa integral em duas parcelas pela Regra da Soma:

W = ∫ u = 4 9 u 3 2   d u - ∫ u = 4 9 u   d u

Resolvendo a primeira parcela pela Regra da Potência:

∫ u = 4 9 u 3 2     d u = 2 5   u 5 2 u = 4 9 = 2 5 u 5 u = 4 9

Fazendo a subtração com os limites da integral:

2 5 9 5 - 4 5 = 2 5 [ 9 2 ⋅ 3 - 4 2 ⋅ 2 ] = 422 5

E agora resolvendo a segunda parcela pela Regra da Potência:

∫ u = 4 9 u 1 2   d u = 2 3 u 3 2   u = 4 9 = 2 3 u 3 u = 4 9

Fazendo a subtração com os limites da integral:

2 3 9 3 - 4 3 = 2 3 9 ⋅ 3 - 4 ⋅ 2 = 38 3

Unindo as parcelas da nossa integral ficamos com:

W = 422 5 - 38 3 = 1076 15   e r g s

A resposta é dada em e r g já que as unidades fornecidas foram em d i n a e c m . Sistema CGS

Resposta

W = 1076 15   e r g s

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