Enunciado

Uma piscina circular tem um diâmetro de 24 pés, os lados têm 5 pés de altura e a profundiade da água é de 4 pés. Quanto trabalho é necessário para bombear toda a água pelo lado da piscina? (Use o fato de que a densidade da água é 62,5   l b / p é )

Passo 1

Nós temos um cilindro de 24   f t de diâmetro, e com uma altura de 5   f t . Dentro dele, temos água com uma profundidade de 4   f t .

Então para tirar a primeira “porção” de água, temos que elevá-la por uma altura de 5 - 4 = 1   f t . Essa altura vai aumentar conforme tirarmos mais água:

Logo no início, teremos x = 5 - 4 = 1 , e quando a água estiver quase acabando, teremos x = 5 - 0 = 5 .

Passo 2

Agora vamos calcular o trabalho necessário para elevar um “pequeno cilindro” de altura d x por uma altura x .

O volume desse cilindro é:

d V = π R 2 d x

d V = π 24 2 2 d x = 144 π   d x

E como a densidade da água é 62,5   l b , a massa desse volume é:

d M = ρ d V = 62,5 144 π   d x = 9000 π   d x

Passo 3

Então o trabalho necessário para elevar essa massa de água (ignorando a aceleração da gravidade) por x pés é:

d W = d M x

d W = 9000 π x   d x

Agora é só integrar com x variando de x = 1 até x = 5 :

W = 9000 π ∫ 1 5 x   d x

W = 9000 π 5 2 2 - 1 2 2 = 108   000   π   l b ∙ f

Resposta

O trabalho necessário é 108   000 π l b ∙ f

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