Enunciado

Nos Exercícios 3 e 4, uma partícula se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força de f x dinas, quando a partícula está a x cm da origem. Ache o trabalho realizado quando a partícula se move do ponto onde x = a até o ponto onde x = b .

f x = 4 x - 1 2 ;   a = 1 ; b = 4

Passo 1

O exercício quer que encontremos o trabalho, e para isso usar a fórmula da integral já que aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x   d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f ( x ) , então nossa integral fica:

W = ∫ x = 1 4 4 x - 1 2   d x

Agora podemos resolvê-la, para isso vamos começar fazendo uma Integração por Substituição, onde nosso u será:

u = 4 x - 1

E o diferencial de u :

d u = 4   d x ∴ d x = d u 4

Podemos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

W = ∫ x = 1 4 u 2 d u 4 = 1 4 ∫ x = 1 4 u 2 d u

Pronto, já está com uma cara melhor.

Passo 2

Encontrando as primitivas da função aplicando a Regra da Potência:

1 4 ∫ x = 1 4 u 2 d u = 1 4 ⋅ 1 3 ⋅ u 3 x = 1 4 = 1 12 u 3 x = 1 4

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Mas como nossos limites ainda estão em x lembre-se de trazer de volta a variável x :

1 12 ( 4 x - 1 ) 3 x = 1 4

Por último, basta fazer a subtração com os limites da integral:

1 12 4 ⋅ 4 - 1 3 - 4 ⋅ 1 - 1 3 = 1 12 15 3 - 3 3

W = 279   e r g s

A resposta é dada em e r g s já que as unidades fornecidas foram em d i n a e c m . Sistema CGS

Resposta

W = 279   e r g s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque com a forma de um hemisfério, tendo um diâmetro de 10m, está cheio com água até uma profundidade de 3m. Ache o trabalho realizado ao bombear a água até a borda do tanque.
Um recipiente tem a forma e as dimensões de um sólido de revolução descrito pela rotação da região no primeiro quadrante, limitada pela parábola x 2 = 4 p y ,pelo eixo y e pela reta y = p , em torno d
Um tanque com a forma de um hemisfério tem sobre si um cilindro circular reto. O raio de ambos, o hemisfério e o cilindro, é 4 m e a altura do cilindro é de 8 m. Se o tanque estiver cheio de água, ach
A superfície de um tanque é igual a de um paraboloide de revolução obtido girando-se a parábola y = x ² ² em torno do eixo y . O vértice da parábola está na base do tanque, que tem 3,6m de altura. Se
Quanto trabalho é realizado quando um guindaste levanta uma pedra de 200kg a uma altura de 3 m ?