Enunciado

Um ponto desloca-se sobre a hipérbole y x = 4 de tal modo que a velocidade de y é d y d t = β , β constante. Mostre que a aceleração da abscissa x é d 2 x d t 2 = β 2 8 x 3 .

Passo 1

Temos que y é uma função de x que por sua vez é uma função do tempo t , temos que derivar implicitamente, pela regra da cadeia, toda a função:

d y d t = d y d x ⋅ d x d t

Se y x = 4 , sabemos que y = 4 x , e assim:

d y d t = - 4 x 2 ⋅ d x d t

Se d y d t = β , podemos escrever ainda:

- 4 x 2 ⋅ d x d t = β

d x d t = - β 4 x 2

Passo 2

Para obtermos a aceleração, temos que derivar novamente:

d d t d x d t = d d t - β 4 x 2

d 2 x d t 2 = - β 4 d d t x 2

d 2 x d t 2 = - β 4 ⋅ 2 x ⋅ d x d t

d 2 x d t 2 = - β x 2 ⋅ d x d t

Como anteriormente, mostramos que d x d t = - β 4 x 2 , temos:

d 2 x d t 2 = - β x 2 ⋅ d x d t

d 2 x d t 2 = - β x 2 ⋅ - β 4 x 2

d 2 x d t 2 = β 2 x 3 8

Logo, provamos que d 2 x d t 2 = β 2 x 3 8 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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