Nos Exercícios de 1 a 10, prove a identidade.

3 \* tgh(x + y) = (tgh x + tgh y) / (1 + tgh x \* tgh y)

Passo 1

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

t g h   x = e x - e - x e x + e - x

t g h   x = s e n h   x cosh ⁡ x

Substituindo:

tgh  ⁡ ( x + y ) = e ( x + y ) - e - x - y e ( x + y ) + e - x - x

tgh  ⁡ ( x + y ) = e x . e y - e - x . e - y e x . e y + e - x . e - y

Aplicando as identidades 9 e 10:

cosh ⁡ x + s e n h   x = e x

cosh ⁡ x - s e n h   x = e - x

tgh  ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x + s e n h   x . cosh ⁡ y + s e n h   y - ( cosh ⁡ x - s e n h   x ) . ( cosh ⁡ y - s e n h   y ) cosh ⁡ x + s e n h   x . cosh ⁡ y + s e n h   y + ( cosh ⁡ x - s e n h   x ) . ( cosh ⁡ y - s e n h   y )

tgh  ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x . cosh ⁡ y + cosh ⁡ x . s e n h   y + s e n h   x . cosh ⁡ y + senh x . senh y - cosh ⁡ x . cosh ⁡ y + cosh ⁡ x . s e n h   y + s e n h   x . cosh ⁡ y - s e n h   x . s e n h   y cosh ⁡ x . cosh ⁡ y + cosh ⁡ x . s e n h   y + s e n h   x . cosh ⁡ y + senh x . senh y + cosh ⁡ x . cosh ⁡ y - cosh ⁡ x . s e n h   y - s e n h   x . cosh ⁡ y + s e n h   x . s e n h   y

tgh  ⁡ ( x + y ) = = 2 . cosh ⁡ x . s e n h   y + s e n h   x . cosh ⁡ y 2 cosh ⁡ x . cosh ⁡ y + s e n h   x . s e n h   y = cosh ⁡ x . s e n h   y + s e n h   x . cosh ⁡ y cosh ⁡ x . cosh ⁡ y + s e n h   x . s e n h   y

tgh  ⁡ ( x + y ) = 1 cosh ⁡ x . cosh ⁡ x t g h   y + t g h   x 1 cosh ⁡ x . cosh ⁡ x 1 + t g h   y + t g h   x = t g h   y + t g h   x 1 + t g h   y + t g h   x

Concluindo:

tgh  ⁡ ( x + y ) = t g h   x + t g h   y 1 + t g h   x . t g h   y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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