Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 10, prove a identidade.

3 ) tgh ( x + y ) = (t g h x + t g h y)/(1 + t g h x . t g h y)

Passo 1

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

t g h x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

t g h x = (s e n h x)/(cosh x)

Substituindo:

tgh ( x + y ) = (e^(( x + y )) - e^(- x - y))/(e^(( x + y )) + e^(- x - x))

tgh ( x + y ) = (e^x . e^y - e^(- x) . e^(- y))/(e^x . e^y + e^(- x) . e^(- y))

Aplicando as identidades 9 e 10:

cosh x + s e n h x = e^x

cosh x - s e n h x = e^(- x)

tgh ( x + y ) = ((cosh x + s e n h x) . (cosh y + s e n h y) - ( cosh x - s e n h x ) . ( cosh y - s e n h y ))/((cosh x + s e n h x) . (cosh y + s e n h y) + ( cosh x - s e n h x ) . ( cosh y - s e n h y ))

tgh ( x + y ) = ([cosh x . cosh y + cosh x . s e n h y + s e n h x . cosh y + senh x . senh y - cosh x . cosh y + cosh x . s e n h y + s e n h x . cosh y - s e n h x . s e n h y])/([cosh x . cosh y + cosh x . s e n h y + s e n h x . cosh y + senh x . senh y + cosh x . cosh y - cosh x . s e n h y - s e n h x . cosh y + s e n h x . s e n h y])

tgh ( x + y ) = = (2 . [cosh x . s e n h y + s e n h x . cosh y])/(2 [cosh x . cosh y + s e n h x . s e n h y]) = ([cosh x . s e n h y + s e n h x . cosh y])/([cosh x . cosh y + s e n h x . s e n h y])

tgh ( x + y ) = ((1)/(cosh x . cosh x) [t g h y + t g h x])/((1)/(cosh x . cosh x) [1 + t g h y + t g h x]) = ([t g h y + t g h x])/([1 + t g h y + t g h x])

Concluindo:

tgh ( x + y ) = (t g h x + t g h y)/(1 + t g h x . t g h y)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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