Enunciado

Prove que a função tangente hiperbólica é ímpar e que a função secante hiperbólica é par.

Passo 1

Primeiro, temos que lembrar que uma função par é aquela em que os valores simétricos possuem a mesma imagem, ou seja,

f x = f ( - x )

Nas funções ímpares os valores simétricos possuem imagens simétricas:

f - x = - f ( x )

A função tangente hiperbólica é dada por:

t g h   x = e x - e - x e x + e - x

Para valores simétricos:

t g h - x = e - x - e x e - x + e x = - e x - e - x e x + e - x

Então

t g h - x = - t g h   ( x )

Ou seja, a função tangente hiperbólica é uma função ímpar.

Passo 2

Para a função secante hiperbólica:

s e c h   x = 2 e x + e - x

Para valores simétricos:

sech ⁡ - x = 2 e - x + e x = 2 e x + e - x

Então:

s e c h   x = sech ⁡ - x

Ou seja, a função secante hiperbólica é uma função par.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.(a) cosh - 1 ⁡ x (b) tgh - 1 ⁡ x (c) cossech - 1 ⁡ x (d) sech - 1 ⁡ x (e) cotgh - 1 ⁡ x
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