Prove: (senh x + cosh x)^n = cosh(nx) + senh(nx) , se n for inteiro positivo.

Passo 1

Para provar a identidade precisamos lembrar que:

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x = e x

s e n h   2 x = 2 senh  ⁡ x . cosh ⁡ x

cosh ⁡ 2 x   = senh ²   ⁡ x + cosh ² ⁡ x

Analisando para n=2:

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x 2 = senh ²   ⁡ x + 2 senh  ⁡ x . cosh ⁡ x + cosh ² ⁡ x

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x 2 = s e n h   2 x + cosh ⁡ 2 x   = e 2 x = e x . e x

Para n=3:

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x 3 = e x . e x . e x = e 3 x = s e n h   3 x + cosh ⁡ 3 x  

Generalizando para qualquer n:

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x n = e n x

e n x = senh  ⁡ n x + cosh ⁡ n x

Concluindo:  

senh  ⁡ x + cosh ⁡ x n = cosh ⁡ n x + s e n h   n x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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