Enunciado

Encontre os limites.

12. underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - x - 2)/(2 x^2 + x - 3)

Passo 1

Pra realizarmos o cálculo de um limite, basta que apliquemos no lugar de x o valor ao qual ele tende. Mas, apesar de parecer fácil a execução, algumas vezes a gente não pode fazer isso diretamente.

Em alguns casos, se substituímos direto x pelo valor ao qual ele tende, podemos chegar às inconsistências/indeterminações matemáticas do tipo (0)/(0) , (oo)/(oo) , (oo)/(0) e (0)/(oo) .

Esses casos requerem uma alteração na forma como a função do limite está escrita, por meio de simplificações algébricas que equivalerão à função da forma inicial.

Não existindo esse tipo de problema, apenas aplicamos o valor em x e calculamos o limite normalmente!

Passo 2

Pra esse limite, se aplicamos 2 direto em x , chegamos à indeterminação (0)/(0) . Logo, precisamos trabalhar na função pra torná-la possível de ter o limite calculado.

Pra esse caso, podemos fatorar o numerador, por produtos notáveis, até chegarmos a uma parcela igual à do denominador, e cancelá-la!

Passo 3

underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - x - 2)/(2 x^2 + x - 3) =

Aqui, uma opção é fazer a fatoração em termos mais simples das funções de 2° grau, ou mesmo resolver por bhaskara e determinar as raízes. Aqui vamos optar pelo primeiro caso:

underset(x -> 1)(lim) (3 ( x^2 - (x)/(3) - (2)/(3) ))/(2 ( x^2 + (x)/(2) - (3)/(2) )) = underset(x -> 1)(l i m) (3)/(2) * ((x - 1) (x + (2)/(3)))/((x - 1) (x + (3)/(2))) =

= underset(x -> 1)(l i m) (3)/(2) * ((x + (2)/(3)))/((x + (3)/(2))) = (3)/(2) * ((1 + (2)/(3)))/((1 + (3)/(2))) = (3)/(2) * ((5)/(3))/((5)/(2)) =

= (3)/(2) * (2)/(3) = 1

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (3 x^2 - x - 2)/(2 x^2 + x - 3) = 1

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