Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

12) lim x → 1 ⁡ ( x 2 - 5 ) = - 4 ,     ϵ = 0,01

Passo 1

Faaaaala galerinha, animados?

Olha, respirem bem fundo antes de começar porque esta aqui é um pouquinho confusa de entender, mas com calma e atenção vocês vão tirar de leetra !!

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor δ positivo para a diferença de x - a capaz de permitir um erro menor que ϵ , certo? Enquanto na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Se já sabemos isso vamos definir os valores de f x ,   a   e   L .

Vocês se lembram como escrevemos o limite?

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Comparando com o que nos foi dado:

lim x → 1 ⁡ ( x 2 - 5 ) = - 4

Sendo assim:

f x = x ² - 5

a = 1

L = - 4

Substituindo nossos dados na definição dada na letra (a):

0 < x - 1 < δ

f x + 4 < 0,01

Bom, ainda não chegamos no que queríamos, certo?

Passo 2

Para resolver a letra (a) precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x + 4 | = 0,01

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 + 4 = - 0,01

f x 2 + 4 = 0,01

Quando nós resolvemos achamos dois valores possíveis para as funções, ok?

f x 1 = - 4,01

f x 2 = - 3,99

Se temos dois valores diferentes para a função também teremos dois valore para o x :

f x 1 = x 1 ² - 5 = - 4,01

x 1 = 0,995

f x 2 = x 2 ² - 5 = - 3,99

x 2 = 1,005

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação que achamos no Passo 1:

x - 1 = δ

Para x 1 :

0,995 - 1 = 0,005

Para x 2 :

1,005 - 1 = 0,005

Então:

δ = 0,005

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, nós já sabemos que:

f x + 4 < 0,01

E também sabemos que a função será:

f x = x ² - 5

Se nós substituirmos:

x ² - 5 + 4 < 0,01

x ² - 1 < 0,01

Usando as propriedades do quadrado perfeito, vamos reescrever:

x ² - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Substituindo:

( x - 1 ) ( x + 1 ) < 0,01

Pela definição de módulo:

x - 1 | | ( x + 1 ) < 0,01

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 1 < δ

Ainda não sabemos nada sobre δ , certo? Queremos descobrir isso de novo aqui para comprovar a letra (a), ok?

Vamos assumir que δ = 1 :

x - 1 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 1 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 1 ) somando 2 aos seus termos:

1 < x + 1 < 3

Então:

| x + 1 | < 3

Sendo assim,

x - 1 | | ( x + 1 ) = x - 1 . 3 < 0,005

x - 1 < 1 600

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 600 .

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x + 1 ) .   Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x - 1 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 1 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 1 ) somando 2 aos seus termos:

1 < x + 1 < 3

Então:

| x + 1 | < 3

Sendo assim,

x - 1 | | ( x + 1 ) = δ . 3 < 0,0 1

x - 1 < δ = 1 3 00

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 3 00 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,005
  2. δ = 1 3 00
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