Seja g t = t - 2 ,       t < 0 t 2 ,   0 ≤ t ≤ 2 2 t ,                 t > 2 , encontre:

(a) lim t → 0 ⁡ g ( t ) (b) lim t → 1 ⁡ g ( t ) (c) lim t → 2 ⁡ g ( t ) .

Passo 1

Pra esse exercício, trabalhamos com uma função dividida em três leis, que mudam em x = 0 e em x = 2 . Assim, precisamos calcular os limites nesses pontos com muito cuidado!

Precisamos também lembrar que, pra um limite lim x → a ⁡ f ( x ) existir, os limites laterais no ponto a precisam existir e serem equivalentes! Avaliemos então o caso dessa função.

Passo 2

(a) lim t → 0 ⁡ g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de lim t → 0 - ⁡ g ( t ) e lim t → 0 + ⁡ g ( t ) .

À esquerda de 0, calculamos o limite pela primeira lei da função. Temos:

lim t → 0 - ⁡ t - 2 = 0 - 2 = - 2

À direita de 0, calculamos pela segunda lei. Temos:

lim t → 0 + ⁡ t 2 = 0 2 = 0

Temos os limites laterais diferentes, logo, o limite no ponto não vai existir!

lim t → 0 ⁡ g ( t ) = ∄

Passo 3

(b) lim t → 1 ⁡ g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de lim t → 1 - ⁡ g ( t ) e lim t → 1 + ⁡ g ( t ) .

À esquerda de 1, calculamos o limite pela segunda lei da função. Temos:

l i m t → 1 - t 2 = 1 2 = 1

À direita de 1, calculamos também pela segunda lei. Temos:

l i m t → 1 + t 2 = 1 2 = 1

Temos os limites laterais existentes e iguais. Assim, concluímos que:

lim t → 1 ⁡ g ( t ) = 1

Passo 4

(c) lim t → 2 ⁡ g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de lim t → 2 - ⁡ g ( t ) e lim t → 2 + ⁡ g ( t ) .

À esquerda de 2, calculamos o limite pela segunda lei da função. Temos:

l i m t → 2 - t 2 = 2 2 = 4

À direita de 2, calculamos pela terceira lei. Temos:

l i m t → 2 + 2 t = 2 ∙ 2 = 4

Temos os limites laterais existentes e iguais. Assim, concluímos que:

lim t → 2 ⁡ g ( t ) = 4

Resposta

(a) lim t → 0 ⁡ g ( t ) = ∄

(b) lim t → 1 ⁡ g ( t ) = 1

(c) lim t → 2 ⁡ g ( t ) = 4

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