Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .
  1. lim x → 4 ⁡ ( x - 1 ) = 3 ,     ϵ = 0,2

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x - 1

a = 4

L = 3

Sendo assim:

0 < x - 4 < δ

f x - 3 < 0,2

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 3 | = 0,2

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 3 = - 0,2

f x 2 - 3 = 0,2

Resolvendo:

f x 1 = 2,8

f x 2 = 3,2

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 - 1 = 2,8

x 1 = 3,8

f x 2 = x 2 - 1 = 3,2

x 2 = 4,2

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 4 = δ

Para x 1 :

3,8 - 4 = 0,2

Para x 2 :

4,2 - 4 = 0,2

Então:

δ = 0,2

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 3 < 0,2

E sabendo que:

f x = x - 1

Podemos substituir:

x - 1 - 3 < 0,2

x - 4 < 0,2

Podemos comparar esta desigualdade obtida com a fornecida pelo problema para δ :

x - 4 < δ

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,2 .

Resposta

  1. δ = 0 , 2
  2. δ = 0 , 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse as somas em formas fechadas. ∑ k = 1 n 5 n - 2 k n
Expresse as somas em formas fechadas. ∑ k = 1 n - 1 k 2 n
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Cada aproximação pela extremidade direita da área sob o gráfico dey = x 2 acima de um intervalo [ a , b ] será uma superestim
Para uma função f que é contínua em [ a , b ] , a Definição 5.4 . 5 diz que a área líquida com sinal A entre f ( x ) e o intervalo [ a , b ] é: A =lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x Dê interpretação ge
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 3 ; 2,6