Enunciado

Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais.

x 3 - 4 x 2 + 2 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 3 x 2 - 8 x

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f ( 0 ) > 0 e f - 1 < 0 . Portanto, o valor x 1 = - 0,5 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 0,5 - 0,875 4,75

x 2 = - 0,6842

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = - 0,6842 - - 0,1928 6,8780  

x 3 =   - 0,6561

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = - 0,6561 - - 0,0043 6,5402  

x 4 = - 0,6554  

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = - 0,6554 - 0,0003 6,531  

x 5 = - 0,6554  

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação x 3 - 4 x 2 + 2 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = - 0,6554  

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Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 5 - x + 1 = 0
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 3 - 2 x + 7 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a menor raiz positiva
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva