Enunciado

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

x 3 - 2 x + 7 = 0 ; a raiz negativa

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 3 x 2 - 2

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f - 2 = 3 > 0 e f - 3 = - 14 < 0 . Portanto, o valor x 1 = - 2,2 é razoável para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 2 , 2 - 0,752 12,52

x 2 = - 2,2601

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = - 2,2601 - - 0 , 0245 13,3242  

x 3 =   - 2,2583

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = - 2 , 2583 - 0,0005 13,2998  

x 4 = - 2,2583

Resposta

Ou seja, a raiz real da equação   x 3 - 2 x + 7 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = - 2 , 2583

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas. 7 3 , resolvendo a equação x 3 - 7 = 0
Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas. 3 , resolvendo a equação x 2 - 3 = 0
Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas. 10 , resolvendo a equação x 2 - 10 = 0
Você planeja estimar π 2 com cinco casas decimais usando o método de Newton para resolver a equação c o sx=0 . O valor inicial faz diferença? Justifique sua resposta
Suponha que sua primeira tentativa para a raiz esteja correta, no sentido de que x 0 seja uma raiz de f ( x )=0 . Supondo que f ' ( x 0 ) exista e seja não nula, o que acontecerá com x 1 e com as apro