Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f x = t g - 1 ( 2 x )

Passo 1

Beleza, galera? Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como uma integral:

f x = t g - 1 ( 2 x ) = 2 ∫ 1 1 + 2 x 2   d x = 2 ∫ 1 1 - - 4 x 2   d x

Mas sabemos que a expressão dentro da integral corresponde à soma de uma série geométrica de primeiro termo 1 e razão - 4 x 2 :

f x = 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ 1 - 4 x 2 n d x = 2 ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1

onde C é uma constante de integração.

Passo 2

Agora, se usarmos a função f x original e fizermos x = 0 , descobriremos o valor da constante C :

t g - 1 2   .   0 = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 0 2 n + 1

0 = C + 0

C = 0

Então,

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n + 1

Passo 3

Show! Agora vamos traçar f e várias somas parciais a partir da série de potências encontrada no passo anterior:

Perceba que, à medida que n aumenta, as somas parciais s n x se aproximam cada vez mais de f no intervalo de convergência, ou seja, quando x < 1 2   .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n + 1 2 n + 1 x 2 n + 1

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