Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 3 x - 2 2

Passo 1

E aê, galera! Olha bem pra nossa função, podemos reescrevê-la como um produto:

f x = x 3 x - 2 2 = x 3 1 x - 2 2

Mas, olha só:

1 x - 2 2 = 1 2 - x 2 = 1 2 - x ' = 1 2 1 - x 2 '

Passo 2

Podemos ver a expressão dentro da derivada como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 1 2 e razão x 2 :

1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 x 2 n ' = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n ' = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 x n - 1

Para voltarmos a f x , é só multiplicar a série por x 3 , né?

f x = x 3 1 x - 2 2 = ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 ( x n - 1 x 3 ) = ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 x n + 2

Show! Pra nossa série ficar mais bonitinha, em termos de x n , vamos substituir n por n - 2 , e aí o somatório passa a começar em n = 3 :

f x = ∑ n = 3 ∞ n - 2 2 n - 1 x n

Passo 3

Como a razão da série geométrica que usamos era x 2   , pra série convergir devemos ter:

x 2 < 1

x < 2

Então o raio de convergência é R = 2 , já que a integração ou derivação da série não altera o raio de convergência.

Resposta

f x = ∑ n = 3 ∞ n - 2 2 n - 1 x n

R = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Ache uma representação em série de potências para f x = ln ⁡ ( 1 + x ) Qual é o raio de convergência?(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f x = x ln ⁡ ( 1 + x ) (c) Use o
(a) Use derivação para encontrar a representação em série de potências para f x = 1 1 + x 2 Qual é o raio de convergência?(b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f x = 1 1 + x 3
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência. f x = 3 x 2 - x - 2
Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais ∫ 0 0,2 d x 1 + x 6
Mostre que a função f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! É uma solução da equação diferencial f ' ' x + f x = 0