Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos tentar achar uma representação de f em série de potências:

f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x = ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1 - x = ∫ 1 1 + x d x + ∫ 1 1 - x d x = ∫ 1 1 - - x d x + ∫ 1 1 - x d x

Passo 2

Podemos escrever essas integrais como séries de potências:

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + ∑ n = 0 ∞ x n d x = ∫ 1 - x + x 2 - x 3 + … + 1 + x + x 2 + x 3 + … d x = ∫ 2 + 2 x 2 + 2 x 4 + … d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ 2 x 2 n d x = C + ∑ n = 0 ∞ 2 x 2 n + 1 2 n + 1

Fazendo-se x = 0 , descobrimos a constante C :

ln ⁡ 1 + 0 1 - 0 = C + ∑ n = 0 ∞ 2 0 2 n + 1 2 n + 1

ln ⁡ 1 = C + 0

C = 0

Então,

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 x 2 n + 1

Passo 3

Show! Agora vamos traçar f e várias somas parciais a partir da série de potências encontrada no passo anterior:

Perceba que, à medida que n aumenta, as somas parciais s n x se aproximam cada vez mais de f no intervalo de convergência, ou seja, quando x < 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 x 2 n + 1

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Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais. ∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x
(a) Mostre que a função f x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! É uma solução da equação diferencial f ' x = f x (b) Mostre que f x = e x .
Seja f x = ∑ n = 1 ∞ x n n 2 Encontre os intervalos de convergência para f ,f ' ef ' ' .
A função de Bessel de ordem 1 é definida por J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 (a) Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + ( x 2 - 1 ) J 1 x = 0
(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0