Enunciado

No Exercício y = int_(t g x)^0 (1)/(1 + t^2) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorguanizar a equação:

y = int_(t g x)^0 (1)/(1 + t^2) d t

y = - int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (- int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t)

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_0^(t g x) (1)/(1 + t^2) d t

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . ( t g x ) '

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . s e c^2 x

Vamos usar a identidade trigonométrica, sec^2 x = 1 + t g^2 x , e agora substituimos:

= - (1)/(1 + ( t g x )^2) . s e c^2 x

= - (1)/(sec^2 x) . s e c^2 x

= - 1

Resposta

(d y)/(d x) = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral: ∫ - ln ⁡ 2 0 cosh 2 ⁡ x 2d x
Calcule a integral: ∫ - ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 2 e θ cosh ⁡ θd θ
Calcule a integral: ∫ 0 ln ⁡ 2 4 e - θ senh ⁡ θd θ
Calcule a integral em termos de:funções hiperbólicas inversas. logaritmos naturais. ∫ 0 2 3 d x 4 + x 2
Mostre que, se uma função f é definida em um intervalo simétrico em relação à origem (de modo que f seja definida em - x sempre que definida em x ), então f x =f x + f ( - x ) 2 + f x - f ( - x ) 2 (