Enunciado

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente de no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → .

f x , y = s e n   2 x + 3 y ,                     P - 6 ,   4 ,               u → = 1 2 3 ,   - 1

Passo 1

A questão pede para calcular o gradiente de f e sua derivada direcional num ponto P ( a ,   b ) na direção do vetor u → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Tomando o gradiente de f :

∇ f x ,   y = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y ,   3 cos ⁡ 2 x + 3 y

Assim, com a ,   b = ( - 6 ,   4 ) :

∇ f - 6 ,   4 = ( 2 ,   3 )

Passo 2

Desta forma, a derivada direcional será

D u f - 6 ,   4 = 2 ,   3 ⋅ 3 2 , - 1 2

Portanto,

D u f - 6 ,   4 = 3 - 3 2

Resposta

∇ f x ,   y = 2 cos ⁡ 2 x + 3 y ,   3 cos ⁡ 2 x + 3 y

∇ f - 6 ,   4 = ( 2 ,   3 )

D u f - 6 ,   4 = 3 - 3 2

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