Enunciado

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = 1 x - 1 ,     x ≠ 1 2 ,     x = 1 ,               a = 1

Passo 1

Opa, bora lá! Temos a função:

f x = f x = 1 x - 1 ,     x ≠ 1 2 ,     x = 1 ,               a = 1

Temos que justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto.

Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto e, além disso, o valor da função neste ponto coincidir com o valor do limite. É isso que temos que verificar.

Passo 2

Para x ≠ 1 , a expressão da função é 1 x - 1 , que só não poderia ser utilizada exatamente em x = a = 1 . Assim, f é bem definida em todos os pontos já que em x = 1 ela é definida a parte a vale 2 .

Então o domínio de f é a reta real toda.

D f = R

Passo 3

Vamos calcular o limite de f quando x tende a 1 . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de x = a = 1 por valores de x próximos de 1 porém nunca iguais a 1 . Então, a expressão que devemos usar para o limite é 1 x - 1 .

Vamos calcular os limites laterais. O limite à esquerda é:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = 1 0 - = - ∞

O limite à direita é:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = 1 0 + = + ∞

Os limites laterais são diferentes (logo o limite não existe) e diferem também do valor da função em x = a = 1 ( f 1 = 2 ). Portanto, f não é contínua em x = a .

Passo 4

O esboço do gráfico da função é:

Prontinho!

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

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Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. f x = x 2 - x x s ex ≠ 0 Ls ex = 0 em p = 0
Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique. g x = x s ex1 1 x s ex1 em p = 1
Sejam f e g definidas em R e suponha que existe M0 tal que f x - f p ≤ M g x - g p para todo x . Prove que se g for contínua em p , então f também será contínua em p .
Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique. f x = x x em p = 0
Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique. f x = x 2 - 9 x - 3 s ex ≠ 3 4s ex = 3 em p = 3