Enunciado

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

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∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 x 2 y 2   d x d y

Passo 1

Pela definição de coordenadas polares nós teremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

d x d y = r   d r   d θ

E da integral conseguimos ver que x varia:

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

Dessa forma temos que o intervalo em coordenadas polares fique igual a:

- 4 - r s i n   θ 2 ≤ r c o s   θ ≤ 4 - ( r sin ⁡ θ ) 2

- 4 + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 4 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Isso faz com que tenhamos as seguintes equações :

r 2 ≤ 4 → r = ± 2

Nesse caso teremos que pegar os dois valores de r , pois ele está refletido.

Agora analisando o intervalo em y :

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ r s i n   θ ≤ 2

Substituindo r = 2 (temos que utilizar o módulo):

0 ≤ θ ≤ π 2

Logo a integral fica:

∫ 0 π 2 ∫ - 2 2 ( r cos ⁡ θ )   2 r s i n   θ 2   r d r   d θ

Passo 2

∫ 0 π 2 ∫ - 2 2 r 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d r   d θ

A integral fica da seguinte maneira:

∫ - 2 2 r 5   d r × ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Porém temos a relação trigonométrica que nos diz que:

2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = s i n   2 θ

O que é:

s i n θ cos ⁡ θ = 1 2 sin ⁡ 2 θ

Logo:

r 6 6 - 2 2 × ∫ 0 π 2 ( 1 2 sin ⁡ 2 θ ) 2 d θ

2 × 2 6 6 × 1 4 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ 2 θ   d θ

Porém das relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ = 1

cos 2 ⁡ 2 θ - sin 2 ⁡ 2 θ = cos ⁡ 4 θ

Nós teremos:

sin 2 ⁡ 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 4 θ

Logo:

16 3 × 1 2   ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ 4 θ )   d θ

O que dá:

8 3 θ - sin ⁡ 4 θ 4 0 π 2 = 8 3 π 2 - 0 = 4 π 3

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ - 2 2 r 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d r   d θ = 4 π 3

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