Enunciado

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = x y             ( 1,4 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x y = y →       N o   p o n t o   1,4       ∂ f ∂ x 1,4 = 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y = x 2 y →       N o   p o n t o   1,4       ∂ f ∂ y 1,4 = 1 4

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( 1,4 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para y > 0 . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 1,4 .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse. Nosso mascote Dexter se vestiu de Chapolin Colorado só pra falar pra vocês: “Sigam-me os bons!

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 1,4 , basta fazer:

L x , y = f 1,4 ⏟ 1 ∙ 4 = 2 + ∂ f ∂ x 1,4 ⏟ 2 ∙ x - 1 + ∂ f ∂ y 1,4 ⏟ 1 4 ∙ y - 4

L x , y = 2 + 2 x - 1 + y - 4 4 ∴ L x , y = 2 x + y 4 - 1

Resposta

L x , y = 2 x + y 4 - 1

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