Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = x + e 4 y             ( 3,0 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x + e 4 y = 1 2 x + e 4 y →       N o   p o n t o   3,0       ∂ f ∂ x 3,0 = 1 4

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x + e 4 y = 2 e 4 y x + e 4 y →       N o   p o n t o   3,0       ∂ f ∂ y 3,0 = 1

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse 3,0 . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para x > - e 4 y . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 3,0 .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 3,0 , basta fazer:

L x , y = f 3,0 ⏟ 2 + ∂ f ∂ x 3,0 ⏟ 1 / 4 ∙ x - 3 + ∂ f ∂ y 3,0 ⏟ 1 ∙ y - 0

L x , y = 2 + x - 3 4 + y ∴ L x , y = x 4 + y + 5 4

Resposta

L x , y = x 4 + y + 5 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

1. Verifique que a função dada é diferenciável.d) f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.a) f x , y = e x - y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto.13- f x , y = e x cos ⁡ x y ,( 0,0 )