Enunciado

Explique por que a função logarítmica natural y = ln ⁡ x é usada mais vezes no cálculo do que as outras funções logarítmicas y = log a ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente explicar o porquê da utilização da função logarítmica natural y = ln ⁡ x ser mais usual que a utilização de outras funções logarítmicas gerais y = log a ⁡ x .

Para isso, iremos olhar para a derivada de ambas as funções e analisar a funcionalidade delas.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando y = ln ⁡ x , sabemos que pelas regras de derivação de funções logarítmicas, temos:

y ' = 1 x

Passo 3

Agora derivando y = log a ⁡ x , precisamos mudar a base da função logarítmica para uma base conhecida, como a função logarítmica natural. Utilizando a mudança de base, temos

y = log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a

Agora, podemos encontrar y ' na forma:

y ' = 1 x ln ⁡ a

Essa é a fórmula de derivação para funções logarítmicas.

Observe que essa fórmula de derivação para logaritmos ( d d x log a ⁡ x = 1 x ln ⁡ a ) é mais simples quando a = e , porque ln ⁡ e = 1 . Por isso, a função y = ln ⁡ x é usada mais vezes no cálculo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A função y = ln ⁡ x é usada mais vezes no cálculo devido à simplicidade e praticidade que se tem para encontrar sua derivada.

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = e x no ponto de abscissa 0 .
Seja g x = log a ⁡ x , em que a0 e a ≠ 1 é constante. Mostre que g ' x = 1 x ln ⁡ a .
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Seja f x = a x , em a0 e a a ≠ 1 é um real dado. Mostre que f ' x = a x l na .
Calcule f ' x . f x = e x