Enunciado

Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,       s e   x ≠ 1 1 ,       s e   x = 1

Passo 1

Oi galera, tudo bem? O problema começa nos dando essa função definida por partes

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,       s e   x ≠ 1 1 ,       s e   x = 1

E pede para explicar por que ela é descontínua em x = 1 . E agora?

Bom, quando temos uma função definida por partes, para que ela seja contínua no ponto de ‘quebra’ os limites laterais precisam ser iguais!

Temos que em x = 1 a função vale 1 , então precisamos verificar se em torno desse ponto a outra parte da função também tende a 1! Usando limites!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,       s e   x ≠ 1 1 ,       s e   x = 1

No ponto:

a = 1

E dizer se ela é contínua!

Para que o limite da função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é, o limite da função e a imagem da função deve ser o mesmo no ponto dado, no nosso caso 1 ! Certo?

Iremos calcular o limite da função no ponto a = 1 , sendo assim, temos:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ x 2 - x x 2 - 1

Substituindo x por 1 teremos uma indeterminação

lim x → 1 ⁡ x 2 - x x 2 - 1 = 0 0

Isso significa que precisamos fatorar essa função e simplificar! Assim vamos levantar a indeterminação!

Passo 3

Fatorando o denominador como a diferença de quadrados

a 2 - b 2 = a + b a - b

E no nosso caso a = x ,   b = 1 temos

x 2 - 1 = x + 1 x - 1

E no numerador? Temos x como fator comum! Colocando o termo x em evidência no numerador, temos:

x 2 - x = x x - 1

Aí substituindo no limite temos

lim x → 1 ⁡ x x - 1 x + 1 x - 1

Agora simplificanco o termo ( x - 1 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim x → 1 ⁡ x x + 1

Beleza?

Passo 4

E, finalmente, levantada a indeterminação, podemos substituir o valor de x :

lim x → 1 ⁡ x x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

No entanto, conforme fornecido no enunciado, f 1 = 1 , dessa forma f é descontínua no ponto 1.

Passo 5

Podemos verificar o que foi posto no passo 2 através da análise do gráfico da função f a seguir. Nossa função

x 2 - x x 2 - 1

Pode ser reescrita como

x x + 1 = x + 1 - 1 x + 1 = 1 - 1 x + 1

Que se comporta como uma hipérbole deslocada lateralmente em x + 1 = 0 → x = - 1 . E também deslocada verticalmente em uma unidade para cima!

Então o “novo” eixo y seria em x = - 1 . E o “novo” eixo x seria em y = 1 .

Vamos ver o limite em torno de x = 1 (ponto de quebra da função e descontinuidade) para ver seu comportamento!

Pela direita

lim x → - 1 + ⁡ x x + 1 = - 1 0 - = + ∞

E pela esquerda

lim x → - 1 - ⁡ x x + 1 = - 1 0 + = - ∞

Mas em x = 1 a função vale 1 , então na hipérbole veremos uma bolinha aberta!

Beleza?

Resposta

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