Enunciado

Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é contínua para qualquer número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

Passo 1

Faaala ae, bora matar mais essa questão?

Nesse exercício iremos analisar a função:

G x = x 2 + 1 2 x 2 - x - 1

Temos aí uma função racional, isso é, uma função que é composta pela divisão de dois polinômios.Temos pelo teorema 5(b) que a função será contínua em todo seu domínio e esse domínio é definido como todo o conjunto dos reais, com exceção dos valores de x que zeram o denominador do polinômio.

Dessa forma, devemos aqui encontrar quais são as raízes de 2 x 2 - x - 1 , isso é, os valores que zeram esse polinômio.

Passo 2

Como a função 2 x 2 - x - 1 é um polinômio de segundo grau, podemos encontrar suas raízes usando nosso velho amigo Bhaskara.

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 1 2 - 4 2 - 1 = 1 + 8 = 9

E as raízes serão:

x = - b ± Δ 2 a

x = - - 1 ± 9 2 2

x = 1 ± 3 4

x 1 = 4 4 = 1

x 2 = - 2 4 = - 1 2

Dessa forma, as raízes do polinômio do denominador são 1 e - 1 2 e esses valores devem ser retirados do domínio para que o denominador não zere.

Passo 3

G ( x ) é uma função racional, então, pelo teorema 5(b) ela é contínua em todo seu domínio, que é:

- ∞ , - 1 2 ⋃ - 1 2 , 1 ⋃ 1 , ∞

Uma vez que - 1 / 2   e 1 são raízes do denominador e não podem fazer parte do domínio da função.

Resposta

- ∞ , - 1 2 ⋃ - 1 2 , 1 ⋃ 1 , ∞

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