Suponha que |f(x) - f(1)| ≤ (x - 1)^2 para todo x . Prove que f é contínua em 1 .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe δ , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em 1 se:

x - 1 < δ ⇒ f x - f 1 < ϵ

Passo 2

Se tomarmos δ = ϵ temos:

x - 1 < ϵ ⇒ f x - f 1 < ϵ

x - 1 < ϵ

x - 1 2 < ϵ

Como foi dado que f x - f 1 ≤ x - 1 2 , então

f x - f 1 ≤ x - 1 2 < ϵ

f x - f 1 < ϵ

Logo, a afirmação x - 1 < δ ⇒ f x - f 1 < ϵ é verdadeira, e consequentemente provamos que f é contínua em x = 1 .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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