Enunciado

Suponha que |f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 para todo x . Prove que f é contínua em 1 .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe delta , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em 1 se:

|x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ

Passo 2

Se tomarmos delta = sqrt(ϵ) temos:

|x - 1| < sqrt(ϵ) => |f (x) - f (1)| < ϵ

|x - 1| < sqrt(ϵ)

(x - 1)^2 < ϵ

Como foi dado que |f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 , então

|f (x) - f (1)| <= (x - 1)^2 < ϵ

|f (x) - f (1)| < ϵ

Logo, a afirmação |x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ é verdadeira, e consequentemente provamos que f é contínua em x = 1 .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.41- f x = s e n x - 5 x 2 - 25 ; lim x → 5 ⁡ f ( x )
49- Encontre um valor diferente de zero para a constante k que torne f ( x ) t g k x x ,x0 3 x + 2 k 2 , x ≥ 0 Contínua em x = 0 .
15-16 Em cada parte, use o Teorema 1.5.6 (b) para mostrar que a função é contínua em toda parte.15- a) s e n ( x 3 + 7 x + 1 ) b) s e n x c) cos 3 ⁡ ( x + 1 )
9-14 Determine onde f é contínua.10. f (x) = arccos (l n x)
50. Será a função f (x) = {[[(s e n x)/(|x|) , x != 0],[1 , x = 0]]) contínua em x = 0 ? Explique.