Enunciado

Seja f uma função definida em R e suponha que existe M > 0 tal que

f x - f p ≤ M x - p

Para todo x . Prove que f é contínua em p .

Passo 1

A definição de continuidade de uma função, nos diz que para todo ϵ , um número positivo, existe δ , também positivo de modo que para um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Passo 2

Podemos tomar δ = ϵ M , assim:

x - p < ϵ M

M x - p < ϵ

E como f x - f p ≤ M x - p < ϵ

Separando as inequações:

f x - f p < ϵ devido a   M x - p < ϵ

Assim, como a afirmação x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ é verdadeira, podemos dizer que f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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