Enunciado

Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, porque a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

Q x = x - 2 3 x 3 - 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos explicar por que a seguinte função é contínua em todo o seu domínio:

Q x = x - 2 3 x 3 - 2

Mas o que é o domínio de uma função???

Bom... o domínio trata-se de um conjunto de todos os valores possíveis que você pode colocar na função (em x ) e obter um resultado válido (em f x ).

Assim, vamos verificar quais são as condições de existência dessa função!!

Dessa forma, analisar a função de forma separada (primeiro o denominador e depois o numerador).

Bora lá!! 😉

Passo 2

Bom... Q ( x ) é uma função racional, e percebemos que se fizermos x = 2 3 , o denominador será zero.

E isso iria causar uma indeterminação na nossa função.

Lembre-se que pelo teorema 5 temos que “qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em R = - ∞ , ∞

Aplicando no nosso problema, temos que uma vez que 2 3 é raiz do denominador e não pode fazer parte do domínio da função.

Agora, pelo teorema 5, x 3 - 2 é contínua em todo seu domínio.

Assim, dizemos que o domínio da nossa função é:

- ∞ , 2 3 ⋃ 2 3 , ∞

Passo 3

Agora, analisando o numerador, temos que x - 2 3 é contínua em todo seu domínio pelos teoremas 5.

Perceba que como trata-se de uma raiz cúbica, então não importa o sinal de x .

O teorema 7 diz que uma função raiz é contínua para todo número em seu domínio.

Assim, essa parte também é contínua em todos o conjunto dos reais.

Passo 4

Agora vamos juntar as duas!!

O teorema 9 diz que se g for contínua em a e f for contínua em g a , então a função composta f ∘ g é contínua em a .

Mas o que isso quer dizer??

Quer dizer que se tratarmos as expressões dos passos 2 e 3 como uma função composta (no caso a nossa função Q ), poderemos “juntar” o que encontramos dos seus domínios!!

Como a expressão do passo 2 é a única que tivemos uma restrição, então o domínio total de Q é:

- ∞ , 2 3 ⋃ 2 3 , ∞

Resposta

- ∞ , 2 3 ⋃ 2 3 , ∞

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