Enunciado

Use um gráfico para obter estimativas das equações de todas as assíntotas verticais da curva:

y = tg ⁡ ( 2 sen ⁡ x ) ,     - π ≤ x ≤ π

A seguir, encontre as equações exatas dessas assíntotas.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

y = tan ⁡ ( 2 sen ⁡ x )

Para o intervalo - π ≤ x ≤ π .

Queremos plotar o gráfico dessa curva nesse intervalo e estimar as equações das assíntotas verticais.

Mas o que são essas assíntotas verticais???

Bom... As assíntotas verticais são linhas verticais nas quais uma função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

Elas são caracterizadas por valores extremos nos quais a função tende a infinito positivo ou negativo.

Assim, basta analisar no gráfico onde a função tende ao infinito em y .

Em seguida, deveremos calcular a equação dessas assíntotas e comparar com o que encontramos das estimativas que fizemos.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Começaremos o exercício plotando o gráfico da função fornecida no enunciado no intervalo especificado:

É possível notar que temos assíntotas (marcadas em vermelho) para x ≅ ± 0,9 e x ≅ ± 2,24 .

Passo 3

Para achar as equações exatas das assíntotas, devemos notar que o gráfico da tangente tem assíntotas verticais para:

x = π 2 + n π

Sendo assim, devemos ter:

2 s e n x = π 2 + π n ∴

s e n x = π 4 + π 2 n

Passo 4

Do círculo trigonométrico, sabemos que:

- 1 ≤ s e n   x ≤ 1

Com isso e a última relação obtida no passo 3, temos:

s e n   x = ± π 4 ∴

x = s e n - 1 π 4

Esse valor corresponde a x ≅ 0,9 . E o seu ângulo complementar:

x = π - s e n - 1 π 4

Corresponde a assíntota em x ≅ 2,24 .

Resposta

x = s e n - 1 π 4

x = π - s e n - 1 π 4

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Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → - 2 ⁡ 8 - 3 x = 14
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 1 3 ⁡ 1 - 9 x 2 1 - 3 x = 2
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ . lim x → 3 ⁡ 2 x - 5 = 1