Enunciado

Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência

f x = 7 x - 1 3 x 2 + 2 x - 1

Passo 1

Nosso primeiro passo é expressar a nossa função como soma de funções a partir da técnica de frações parciais. Portanto, precisamos fatorar o denominador. Desta forma:

3 x 2 + 2 x - 1 = 3 ⋅ x 2 + 2 x 3 - 1 3

3 x 2 + 2 x - 1 = 3 ⋅ x - 1 3 ⋅ x + 1

3 x 2 + 2 x - 1 = 3 x - 1 ⋅ x + 1

Agora que conseguimos fatorar o denominador, vamos expressar a função como soma de funções. Sendo assim:

7 x - 1 3 x 2 + 2 x - 1 = 7 x - 1 3 x - 1 ⋅ x + 1 = A 3 x - 1 + B x + 1

7 x - 1 3 x 2 + 2 x - 1 = A x + 1 + B 3 x - 1 3 x - 1 ⋅ x + 1

7 x - 1 3 x 2 + 2 x - 1 = A + 3 B x + ( A - B ) 3 x - 1 ⋅ x + 1

Portanto, precisamos resolver o sistema:

A + 3 B = 7 A - B = - 1

A solução desse sistema é A = 1 e B = 4 . Portanto,

f x = 1 3 x - 1 + 4 x + 1

Passo 2

A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:

g x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Como a nossa função f é dada pela soma de duas frações, vamos fazer cada uma dessas frações se parecerem com a função g ( x ) . Vejamos só:

f x = 1 3 x - 1 + 4 x + 1 = - 1 ⋅ 1 1 - 3 x + 4 ⋅ 1 1 - - x

Agora, fazendo as substituições na série para cada uma das frações, obtemos:

f x = 1 3 x - 1 + 4 x + 1 = - 1 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 3 x n + 4 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - x n

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 3 x n + ∑ n = 0 ∞ 4 ⋅ - 1 n ⋅ x n

Passo 3

Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries de potência. Além disto, devemos olhar a interseção dos intervalos de cada uma das séries. Para a primeira série, ela é convergente quando:

3 x < 1

Já para a segunda, basta que:

x < 1

Portanto, o intervalo de convergência é regido pela primeira série. Desta forma o intervalo de convergência é:

- 1 3   < x < 1 3

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 3 x n + ∑ n = 0 ∞ 4 ⋅ - 1 n ⋅ x n

Intervalo de convergência: - 1 / 3 < x < 1 / 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f x = 1 + x 1 - x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f x = 1 x + 10
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência. f x = x + 2 2 x 2 - x - 1
Use o resultado do Exemplo 6 para calcular l n 1,1 com precisão de cinco casas decimais.
Use a série de potências para tg - 1 ⁡ x para demonstrar a seguinte expressão para π como a soma de uma série infinita π = 2 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 3 n