Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 12
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência
Passo 1
Nosso primeiro passo é expressar a nossa função como soma de funções a partir da técnica de frações parciais. Portanto, precisamos fatorar o denominador. Desta forma:
Agora que conseguimos fatorar o denominador, vamos expressar a função como soma de funções. Sendo assim:
Portanto, precisamos resolver o sistema:
A solução desse sistema é e . Portanto,
Passo 2
A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:
Como a nossa função é dada pela soma de duas frações, vamos fazer cada uma dessas frações se parecerem com a função . Vejamos só:
Agora, fazendo as substituições na série para cada uma das frações, obtemos:
Passo 3
Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries de potência. Além disto, devemos olhar a interseção dos intervalos de cada uma das séries. Para a primeira série, ela é convergente quando:
Já para a segunda, basta que:
Portanto, o intervalo de convergência é regido pela primeira série. Desta forma o intervalo de convergência é:
Resposta
Intervalo de convergência: .