Enunciado

Expresse o limite como integral definida.

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n t g ⁡ ( c k ) Δ x k

Onde P é uma partição de 0 , π 4

Passo 1

Temos que transformar uma soma de Riemann, no qual a norma da partição tende a 0, em uma integral definida. Desta forma, precisamos descobrir quem é a função f x e os números reais a e b tais que:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f c k Δ x k = ∫ a b f x d x

Em que f ( x ) é o integrando, a o limite inferior e b o limite superior. Os números a e b serão os dois extremos da partição da função. Já para descobrir quem é f ( x ) , basta fazer a substituição c k = x , pois a soma de Riemann é dada da seguinte forma.

S P = ∑ k = 1 n f c k Δ x k

Passo 2

A partição P é o intervalo 0 , π 4 . Portanto, o limite inferior é 0 e o superior é π / 4 . Consequentemente, os números reais a e b são:

a = 0

b = π 4

Passo 3

Para descobrirmos quem é o integrando, vamos fazer a substituição c k = x no limite que devemos calcular. Assim temos:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n t g ⁡ ( c k )   Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n t g ⁡ ( x )   Δ x k

Comparando o que obtemos com o limite da soma de Riemann, isto é:

lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n t g ⁡ ( x )   Δ x k = lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x Δ x k

Descobrimos que f x = t g ⁡ ( x ) .

Passo 4

Compondo todos os resultados que descobrimos anteriormente, podemos enfim escrever a seguinte integral definida:

∫ 0 π 4 t g ⁡ ( x )   d x

Resposta

∫ 0 π 4 t g ⁡ ( x )   d x

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