Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida.

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

Passo 1

Tendo o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2

Podemos passa o termo 1 n para dentro do somatório:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 × 1 n

Passo 2

Como a integral definida é dada por:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

E no caso de Δ x , podemos ver que Δ x = 1 n e x i = 0 + i Δ x = 1 n .

Passo 3

Assim temos a função f 1 n = 1 1 + i n 2 pode então ser definida de modo geral como

f x = 1 1 + x 2

Então, a integral é definida por:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2   d x

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