Enunciado

Suponha que g (x) = |f (x)| . Se f^((n)) ( x ) existir e f (x) != 0 , prove que

g^((n)) (x) = (f (x))/(|f (x)|) f^((n)) ( x )

Passo 1

O exercício pede para provarmos que a n-ésima derivada da função |f (x)| é dada pela expressão (f (x))/(|f (x)|) f^((n)) ( x ) . Para provarmos isso, vamos usar a definição da função módulo:

g (x) = |f (x)| = {[[- f ( x ) , f ( x ) < 0],[f ( x ) , f ( x ) >= 0]])

Passo 2

Assim, como podemos tirar a constante +- 1 para fora quando tomamos derivadas, temos que

g^((n)) (x) = {[[- f^(( n )) ( x ) , f ( x ) < 0],[f^(( n )) ( x ) , f ( x ) >= 0]])

Por fim, podemos escrever o termo +- 1 na frente de f^(( n )) como f ( x ) // | f (x) | , que será - 1 para f (x) < 0 e + 1 para f (x) > 0 (sabemos que f (x) != 0 ). Assim, temos que

g^((n)) (x) = (f (x))/(|f (x)|) f^((n)) ( x )

Resposta

Demonstração.

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