7. Seja g(u, v) = f(2u + v, u - 2v) onde f(x, y) é suposta de classe C^2 Verifique que ∂^2g/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2 = 5∂^2f/∂x^2 + 5∂^2f/∂y^2 Passo 1Vamos calcular as primeiras derivadas parciais ∂ g ∂ u e ∂ g ∂ v . ∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u ∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v Como x = 2 u + v e y = u - 2 v , Então ∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2 Substituindo ∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2 , ficamos com ∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ( 2 ) + ∂ f ∂ y ( 1 ) ∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x 1 + ∂ f ∂ y ( - 2 ) Arrumando ∂ g ∂ u = 2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y ∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x - 2 ∂ f ∂ y Passo 2Calculando a segunda derivada ∂ 2 g ∂ u 2 e ∂ 2 g ∂ v 2 . ∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ y ∂ u + ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ x ∂ u + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u ∂ 2 g ∂ v = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ y ∂ v - 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v Substituindo ∂ x ∂ u = 2 , ∂ y ∂ u = 1 , ∂ x ∂ v = 1 e ∂ y ∂ v = - 2 , ficamos com ∂ 2 g ∂ u 2 = 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 2 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( 2 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( 1 ) ∂ 2 g ∂ v = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( 1 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( - 2 ) - 2 ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( 1 ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( - 2 ) Arrumando ∂ 2 g ∂ u 2 = 4 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x + 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 - 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x - 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x + 4 ∂ 2 f ∂ y 2 Passo 3Como é suposta de classe C 2 , podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ 2 f ∂ x ∂ y Então ficamos com ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2 Resposta ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados11. Suponha que f(x, y) satisfaça a equação∂²f / ∂x² = c² * (∂²f / ∂t²) (c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g(u, v) = f(x, t) , onde x = m * u + n * v e t = pu - qv saSeja F(r, θ, t) = f(x, y, t) onde x = r * cos(θ) e y = r * seno(theta) . Suponha que (c != 0 constante)∂²f / ∂t² = c² [ ∂²f / ∂x² + ∂²f / ∂y² ] Mostre que ∂²F / ∂t² = c² [ (∂²F / ∂r²) + (1 / r²) (∂²F Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂Verifique que a mudança de variáveis x = cos(θ) - t * sen(θ) y = s * sen(θ) + t * cos(θ) com theta constante , transforma a equação ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 (u = u(x, y)) Em ∂²u / ∂s² + ∂²u / ∂t² = 0 (u Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem SuperiorVer exercício 13.4 - 6Ver exercício 14.1 - 14a